形式化证明费马大定理
来自 Anthropic Research · 期号 2026-09-04
摘要
费马大定理（FLT）自 1637 年被提出后，直到 1995 年才由 Andrew Wiles 给出 129 页的证明。验证这个证明的正确性本身就需要数月时间。 Anthropic 的研究者让 Claude 尝试将 Wiles 的证明形式化——即转换成计算机能自动验证的 Lean 语言。Claude 在 11 天内基本自主地完成了这项工作，产出了 1300 万行 Lean 代码，证明了 29500 个中间定理。这是目前最大的 Lean 证明。 过程中，Claude 的早期尝试失败了：多个 agent 协作时很快丢失项目状态。改用哥伦比亚大学开发的 Prove2Me 平台后，平台通过维护定理依赖图、分离定理声明与证明文件、为每个定理保留自然语言描述，让数十个 agent 得以并行工作。 整个项目消耗了约 60 亿输出 token，使用了一个内部研究模型（大致相当于 Claude Fable 5.1）。最终证明只依赖 Lean 的三个标准公理，经 Lean 验证通过。 帝国理工的 Kevin Buzzard 评价说，如果 FLT 的自动形式化现在可行，那么现代数学文献的自动形式化就迈出了一大步。这能帮助发现现有数学证明中的错误，减轻审稿负担，也能让 AI 生成的数学结果得到严格验证。 Anthropic 认为，未来为人类读者撰写的数学论文同时附上形式化证明将成为常态。
深读
导读 Anthropic 让 Claude 在 11 天内基本自主地完成了费马大定理（FLT）的完整形式化证明，将其转换为 Lean 语言，产出 1300 万行代码，证明了 29500 个中间定理。这是目前最大的 Lean 证明，也是首个端到端计算机可验证的 FLT 证明。对于关心 AI 在数学研究、形式化验证和自动化推理方面能力的从业者，这篇文章展示了大模型在复杂、长链条数学推理上的当前边界。 关键信息 - Claude 在 11 天内产出了 1300 万行 Lean 代码，证明了 29500 个中间定理（最终证明使用了 30300 个定理中的 29500 个）。 - 整个项目消耗了约 60 亿输出 token，使用了一个内部研究模型（大致相当于 Claude Fable 5.1）。 - 最终证明的规模是 Mathlib（Lean 社区主数学库）的 5 倍以上。 - 早期尝试失败后，改用哥伦比亚大学开发的 Prove2Me 平台，通过维护定理依赖图、分离定理声明与证明文件、为每个定理保留自然语言描述，让数十个 agent 得以并行工作。 - 失败的早期尝试贡献了最终证明中约 7% 的非样板代码行。 - 证明仅使用了 Lean 的三个标准公理，并通过比较器确认定理陈述与 Mathlib 中 FLT 的陈述一致。 逐节讲解 验证数学证明的挑战 费马大定理自 1637 年被提出后，直到 1995 年才由 Andrew Wiles 给出 129 页的证明。验证这个证明的正确性本身就需要数月时间。文章以多个历史案例说明了数学界验证复杂证明的困难：Thomas Hales 1998 年对开普勒猜想的证明花了四年审查，最终 12 人评审小组只给出“99% 确定”；Grigori Perelman 2002 年的庞加莱猜想证明花了约四年和三篇 300 页的阐述才被接受；Harald Helfgott 2013 年的弱哥德巴赫猜想证明至今仍在审查中。有时错误的结果会被接受多年，其他数学家在此基础上构建理论。 形式化费马大定理 形式化证明需要将数学推理转换成计算机能自动验证的 Lean 语言。人类证明会跳过许多显而易见的步骤，而 Lean 需要看到每一步。对于 FLT，形式化过程原本预计需要数年，仅社区用于描述初始阶段的蓝图就有 86 页。 Claude 在 11 天内完成了证明。数十个 Claude agent 协作定义概念、证明中间定理，并使用这些定理证明更难的陈述。早期尝试失败是因为 agent 很快丢失项目状态、停止有效协作。改用 Prove2Me 平台后成功，该平台通过三个机制帮助：维护定理依赖图（有向无环图）让 agent 决定下一步该证明什么；分离定理声明与证明文件以加速编译；为每个定理保留自然语言描述以支持搜索和复用。 减轻形式化验证的负担 文章认为，如此快速…