Claude 数学能力新进展
来自 Anthropic Research · 期号 2026-08-10
摘要
黎曼猜想是数学中最著名的未解难题之一，它断言黎曼 ζ 函数的非平凡零点都落在一条垂直线上。数学家们一直无法证明或证伪它，但逐步提高了已知位于该线上的零点比例下限，此前最高为 41.6%。 Anthropic 让一个未公开发布的研究版 Claude 尝试攻克这个问题。它没有证明黎曼猜想，但意外地在一个相关问题上取得了进展：通过结合 Aryan、Baluyot–Goldston–Suriajaya–Turnage-Butterbaugh 以及 Bombieri 等人的工作，Claude 将这一下限从 41.6% 提升到了 67.2%。 Anthropic 的两位数学家研究并验证了 Claude 的论文，Claude 还生成了一个形式化可验证的证明。两位外部专家 Brian Conrey 和 Dan Goldston 也审阅了论文。作者表示，Claude 所用的技术不太可能导向黎曼猜想的最终证明，但这是 AI 数学能力快速进步的最新例证。
深读
导读 Anthropic 让一个未公开发布的研究版 Claude 尝试攻克黎曼猜想，数学中最著名的未解难题之一。Claude 没有成功，但意外地在相关问题上取得了实质性进展：它将黎曼 ζ 函数满足猜想的零点比例下限从 41.6% 提升到了 67.2%。这篇博客详细记录了 Claude 的探索过程、方法论以及这一结果的意义，适合对 AI 在数学研究中的实际能力感兴趣的读者。 关键信息 - Claude 在两次 Claude Code 会话中使用了总计 3100 万输出 token，生成了 650 个初始想法（均未成功），随后协调了约 60 个 Claude 子智能体，运行了 2400 条 shell 命令并编写了数百个 Python 脚本。 - Claude 的结果结合了 Aryan、Baluyot–Goldston–Suriajaya–Turnage-Butterbaugh 以及 Bombieri（2000 年论文）等人的工作，将黎曼 ζ 函数满足猜想的零点比例下限从 41.6% 提升至 67.2%。 - Anthropic 的两位数学家 Levent Alpöge 和 Ralph Furman 研究并验证了 Claude 的论文；外部专家 Brian Conrey 和 Dan Goldston 也审阅了论文；Claude 还生成了一个 Lean 形式化可验证的证明。 - Claude 在发现结果后，自行让子智能体审阅证明、搜索反例、从 arXiv 下载 54 篇论文以确认结果未被发现，并从头独立重新证明了该结果。 逐节讲解 黎曼 ζ 函数与问题的背景 黎曼 ζ 函数描述了素数的分布：函数取值为零的位置为素数序列贡献了越来越精细的细节。黎曼猜想断言，决定素数的这些零点都位于某条垂直线上。这已成为数学中最重要的猜想之一，许多结果都假设它为真，以便在素数中引入某种随机性。数学家们虽未能证明或证伪该猜想，但在多个相关方向上取得了进展，其中之一就是量化位于线上的零点最小比例，此前这一比例已被逐步提升至 41.6%。 Claude 的发现 Claude 发现，将 Aryan 以及 Baluyot、Goldston、Suriajaya、Turnage-Butterbaugh 的系列工作与 Bombieri 2000 年的论文相结合，可以超越此前 41.6% 的下限，将其提升至 67.2%。技术上的简要解释是：Claude 构造了一个合适的函数空间，该空间带有 Weil 诱导的二次型，并由位于线上和线外的零点分别产生正定和负定子空间；然后它写下一个关于二次型秩的不等式，该不等式涉及一阶和二阶矩信息。作者指出，将整个空间（同时考虑正定性和负定性）以及允许二次型非对角化，是 Claude 能够基于重要前人工作得出这一结论的关键步骤。 Claude 的方法论 一个未公开发布的研…